Aplicaciones de la derivada

La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cualf(c) ≤ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

Un extremo relativo, significa un máximo relativo o un mínimo relativo.

La siguiente gráfica muestra unos extremos relativos.

Extremos relativos

Extremos obsolutos

Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:

f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.

f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.

La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.

Ubicando candidatos al extremos relativos

Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos:

1.-Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x.

2.-Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para ubicar puntos singulares, determine valores x donde f'(x) no está definida, pero f(x) sí está definida.

3.-Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen.

La próxima figura demuestra instancias de todos los tres tipos.

Aplicaciones de máximos y mínimos: Problemas de optimizació

Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y,. para minimizar (o maximizar) el valor de la función objectivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y,.

Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objectivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objectivo.) Especificamente:

1.- Identifique la o los incógnitas. Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema.

2.- Identifique la función objectivo. Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.

3.- Identifique la o los restricciones. Éstas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades que expresan limitaciones para los valores de las variables.

4.- Enuncie el problema de optimización. Ésta tendré la forma "Maximize [o minimize] la función objectivo sujeta a la o los restricciones."

5.- Elimine variables adicionales. Si la función objectivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objectivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objectivo.

6.- Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objectivo. Aplique las técnicas descritas más arriba.

Aceleración

La aceleración de un objeto en movimiento es la derivada de su velocidad: esto es, la segunda derivada (derivada de la derivada) de su función de posición.

Concavidad

Una curva es cóncava hacia arriba si su pendiente es creciente, en cuyo caso la derivada segunda es positiva. Una curva es cóncava hacia abajo si su pendiente es decreciente, en cuyo caso la derivada segunda es negativa. Un punto donde la gráfica de f cambia de estar cóncava hacia arriba a estar cóncava hacia abajo , o viceversa, se llama un punto de inflexión. a un punto de inflexión, la segunda derivada puede ser cero o indefinida.