Cálculo de aproximaciones utilizando diferenciales

 

•Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función “y” con respecto a “x”, la notación de Leibnitz, dxdy, como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x).

•Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)). fig. Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. Definición: i.