Teoremas tipicos de diferenciales
Sea r una región rectangular en el plano xy definida por a < x <b, c < y < d que contiene al punto (x0, y0) en su interior. Si f(x,y) y af/ay son continuas en r, entonces existe un intervalo I con centro en x0 y única función y (x) definida en I que satisface el problema de valor inicial el teorema precedente es uno de lo teoremas de existencial y unicidad mas populares para ecuaciones diferenciales de primer orden porque los criterios de continuidad de f(x,y) y af/ay son relativamente fáciles de verificar. En general, no siempre es posible encontrar un intervalo especifico I en el cual se define una solución sin, de hecho, resolver la ecuación diferencial El teorema de Stokes en geometría diferencial es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819–1903). Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C. Si ∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces•aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este teorema.•El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se define.
•El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos de homología y la cohomología de de Rham. El clásico teorema de Kelvin-Stokes que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano. La primera enunciación conocida del teorema es por William Thomson (lord Kelvin) y aparece en su carta a Stokes.
